Burke nasceu em Fort Worth, Texas. O seu pai, Jack Burke, Sr., pro no Houston River Oaks Country Club, iniciou-o no golfe aos sete anos de idade. Profissionalizou-se em 1940. Burke serviu durante quatro anos nos fuzileiros navais, durante a II Guerra Mundial. Após o fim da guerra, retomou sua carreira no golfe depois de primeiro ter trabalhado nos campos de petróleo do Texas. O seu primeiro trabalho foi como professor em Nova Jersey, a que se seguiu uma posição como assistente no Winged Foot Golf Club, onde foi orientado por Claude Harmon e mais tarde club pro no Metropolis Country Club em White Plains, New York.
Burke ganhou 16 eventos do PGA Tour na sua carreira, incluindo o Masters de 1956 e o PGA Championship. Na sua vitória do Masters, Burke recuperou oito pancadas na volta final, com um 71 em condições de ventos fortes, para ultrapassar o líder amador Ken Venturi, que fez 80. Talvez a sua partida mais famosa tenha sido a derrota com Cary Middlecoff nos quartos de final do PGA Championship de 1955 que durou nove horas e 40 buracos. Burke ganhou o Vardon Trophy para a menor pontuação média em 1952, uma época em que ganhou quatro eventos do Tour. Foi eleito jogador do ano do PGA Tour em 1956.
Após a sua retirada do golfe, Burke, juntamente com Jimmy Demaret, foi a principal força na criação e gestão do Houston's Champions Golf Club, um campo de 36 buracos que tem sido palco de muitos eventos do PGA Tour, bem como a Ryder Cup de 1967, US Open de 1969 e U.S. Amateur de 1993. Tornou-se no quinto destinatário do PGA Tour Lifetime Achievement Award em 2003 e foi admitido no World Golf Hall of Fame em 2000.
Burke compartilha o seu cacifo permanente no Augusta National Golf Club, casa do The Masters em Augusta, Geórgia, com Tiger Woods. Como dita a tradição, ambos mantêm os seus casacos verdes, atribuídos ao vencedor anual do torneio.
Nos últimos anos, Burke treinou várias estrelas actuais do PGA Tour, incluindo Phil Mickelson, no "putting", no qual ele é um especialista.
Vitórias como profissional (18)
Vitórias no Tour (16)
1950 (4) Bing Crosby Pro-Am (empate com Dave Douglas, Quick Smiley, Sam Snead), Rio Grande Valley Open, St. Petersburg Open, Sioux City Open
1952 (5) Texas Open, Houston Open, Baton Rouge Open, St. Petersburg Open, Miami Open
1953 (1) Inverness Invitational
1956 (2) Masters Tournament, PGA Championship
1958 (1) Insurance City Open Invitational
1959 (1) Houston Classic
1961 (1) Buick Open Invitational
1963 (1) Lucky International Open
Major championships are shown in bold.
Outras Vitórias (2)
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1949 Metropolitan Open
1967 Texas State Open
Vitórias em Major championships (2)
1956 Masters Tournament
1956 PGA Championship